Як знайти визначник матриці?

Визначник, або детермінант - одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. Визначник матриці розміру n - n дорівнює орієнтованому n-мірному обсягом паралелепіпеда, натягнутого на її вектори-рядки (або стовпці).

Для матриці n - n визначник виражається у вигляді многочлена ступеня N від елементів матриці який являє собою суму добутків елементів матриці зі всілякими комбінаціями розрізняються номерів рядків і стовпців, причому в кожному з творів елемент з будь-якого рядка і будь-якого стовпця рівно один. Кожному твору приписується знак плюс або мінус в залежності від парності перестановки номерів.

Якщо елементами матриці є числа, то визначник - це теж число. У загальному випадку визначник може бути функціональним, векторним і т.п., тобто, представляти собою інші вирази, складені з елементів.

Визначник матриці n - n задається формулою:

_n!

det (A) = | A | = Sigma- (-1)^{p (i)} - a_{1k (i1)}a_{1k (i2)}...a_{nk (in)}

^{i = 1}

де

• |A| І det(A) - так позначається визначник,
• k_ij i-я перестановка послідовності k₁ = 1, ..,n, тобто, k_1j = j
• p(i) Кількість перестановок пар номерів у послідовності k_1j, необхідне для того, щоб вона перетворилася в послідовність k_ij.

Таким чином, можна виділити наступні особливості побудови вирази для визначника матриці n - n:

• вираз є сума членів, кожен з яких складається з n співмножників
• кількість доданків в сумі дорівнює кількості перестановок n номерів, тобто, n!
• номери рядків і стовпців елементів, що входять в один доданок, не повторюються
• доданки входять в суму або з плюсом, або з мінусом, залежно від парності перестановки
• доданок з елементів головної діагоналі матриці, тобто, a₁₁ a₂₂ ... a_nn входить з плюсом

Нижче дані правила складання визначників для матриць 2 - 2 і 3 - 3, які є більш наочними.

Визначник матриці 2 - 2

Для обчислення визначника матриці розміром 2 - 2 перемножуються її елементи, які стоять на головній діагоналі і з них віднімається твір решти елементів:

| A | = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁

Визначник матриці 3 - 3

Для обчислення визначника матриці розміром 3 - 3 будується шість творів наступним чином:

| A | = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Властивості предільника

• Якщо матрицю транспонувати (зробити рядки стовпцями), то визначник не зміниться.
• Наступні властивості визначників, що стосуються рядків, справедливі також і для стовпців.
• Якщо у матриці переставити два рядки, то її визначник змінить знак.
• Якщо два рядки матриці збігаються, то її визначник дорівнює нулю.
• Якщо хоча б один рядок нульова, то визначник дорівнює нулю.
• При додаванні до будь рядку лінійної комбінації інших рядків визначник не зміниться.
• Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
• Визначник косотреугольной матриці дорівнює добутку її елементів побічної діагоналі зі знаком (-1)^{n (n-1) / 2}
• det (AB) = Det (A) Det (B)
• det (A^T) = Det (A)

Джерела та додаткова інформація:

• матеріал з Вікіпедії;
• матеріал з Великої радянської енциклопедії;
• матеріал з енциклопедії «Кругосвет»;
• wiki.mirgames.ru - поняття визначника матриці;
• alglib.sources.ru - алгоритм визначника матриці на різних мовах програмування;
• ucheba.ru - реферат на тему «Визначник матриці».
• calc-x.ru - сервіс визначення детермінанта в онлайн-режимі (безкоштовно).