Теорема синусів - теорема, що встановлює залежність між сторонами трикутника і протилежними їм кутами. Теорема стверджує, що сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів, або, у розширеній формулюванні:
Для довільного трикутника
a / sinalpha- = B / sinbeta- = C / singamma- = 2R
де a, b, c - сторони трикутника, alpha-, beta-, gamma- - відповідно противолежащие їм кути, а R - радіус описаної навколо трикутника кола.
Доказ теореми синусів:
Досить довести наступні положення:
a / sinalpha- = 2R
Проведемо діаметр BG для описаного кола. По властивості кутів, вписаних в коло, кут BCG прямий і кут при вершині G трикутника BCG дорівнює або alpha-, якщо точки A і G лежать по одну сторону від прямої BC, або pi- - alpha- в іншому випадку. Оскільки sin (pi- - alpha-) = Sinalpha-, в обох випадках a = 2Rsinalpha-. Повторивши теж міркування для двох інших сторін трикутника отримуємо:
a / sinalpha- = B / sinbeta- = C / singamma- = 2R