25900 авторів і 91 редактор відповіли на 98952 питання,
розмістивши 129771 посилання на 81900 сайтів, приєднуйтесь!

Реклама партнерів:

Що таке ступенева функція?

РедагуватиУ обранеДрук

Статечної функцією називають функцію виду:

f (x) = kmiddot-xa,

де коефіцієнт k і показник a - речові (дійсні) постійні.

Степенева функція з цілим показником

Особливий інтерес представляють окремі випадки статечної функції при цілих позитивних значеннях a. При парному позитивному показнику a статечна функція визначена на всій дійсній осі і є парною (значення не змінюється при зміні знака аргументу). Вона строго убуває при xle-0 і строго зростає при xge-0.

Приклад: функція f (x) = x2, має графік у формі параболи.

При непарному позитивному показнику a статечна функція визначена на всій дійсній осі і є непарною (змінює знак при зміні знака аргументу x). Вона строго зростає на всій дійсній осі.

Приклади: f (x) = kx - пряма пропорційність, f (x) = x3 - кубічна залежність, яка має графік у формі кубічної параболи з точкою перегину при x = 0.

При цілих негативних значеннях показника a статечна функція kxa = K / x-a визначена на всій дійсній осі крім точки x = 0, де вона має непереборний розрив. Причому у випадку парного показника a функція завжди позитивна і прагне до +infin- при x - 0, а у випадку, якщо значення показника a непарне, f (x) - -infin- при x прагне до нуля знизу (X - -0), і f (x) - + infin- при x прагне до нуля зверху (X - +0).

Приклад: функція f (x) = x-1 = 1 / x, має графік у формі гіперболи.

Степенева функція з раціональним показником

Степенева функція з показником, зворотним натуральному числу, еквівалентна взяття кореня відповідної знаменника ступеня: kx1 / n = Kmiddot-nradic-х. Така функція визначена на всій дійсній осі для непарних n і тільки в неотрицательной області для парних n.

Приклад: функція f (x) = x1/2 = radic-х.

При раціональних значеннях показника a, тобто представлені у виді нескоротного дробу a = m / n, де m - ціле число, а n - натуральне, статечна функція обчислюється послідовним лікуванням кореня ступеня n і зведенням результату в ступінь m: kxm / n = Kxmmiddot-1 / n = kmiddot-(X1 / n)m= Kmiddot- (nradic-х)m. В області x<0 така степненная функція з раціональним визначена тільки при непарних значеннях знаменника n.

Приклад: функція f (x) = x1,5 = X3/2 = (Radic-х)3.

Степенева функція з речовим показником

Це створює досить цікаву ситуацію, при якій як завгодно мале зміна показника може змінювати область визначення функції. І в той же час для будь-якого значення m / n з парним n, при котрому ступенева функція не визначена в області x<0, можна підібрати як завгодно близьку функцію з непарним знаменником у показнику ступеня. Побудувавши послідовність раціональних чисел з непарними знаменниками, сходящуюся в межі до m / n з парним n, можна заповнити значення статечної функції kxm / n в тому числі на для негативних значень x. Аналогічно можна визначити значення статечної функції для будь-якого вещественнгого числа, в тому числі ірраціонального, тобто непредставімого у вигляді дробу m / n. Даний прийом називається аналітичним продовженням статечної функції з раціональним показником на безліч дійсних чисел. Областю визначення такої аналітично продовженої статечної функції при будь-якому позитивному показнику a є вся речова вісь (-infin-- + Infin-), а при будь-якому негативному вся вісь крім точки (-infin-- 0) U (0- + infin-).

Щоб не стикатися з цими труднощами для практичних потреб зазвичай обмежуються розглядом статечної функції на невід'ємне частини дійсній осі: [0- + infin-).

Посилання на джерела основної і додаткової інформації:

  • pm298.ru - Прикладна математика. Довідник математичних формул;
  • mathematics.ru - Елементарні функції та їх графіки. Степенева функція;
  • ru.wikipedia.org - Вікіпедія: Степенева функція;
  • ru.wikipedia.org - Вікіпедія: Аналітичне продовження.

Див. Також:

Реклама партнерів:

РедагуватиУ обранеДрук

Схожі питання


Увага, тільки СЬОГОДНІ!
«Що таке ступенева функція?»

В інших пошукових системах:

GoogleЯndexRamblerВікіпедія

» » Що таке ступенева функція?