Нехай задана будь-яка матриця А з m рядків і n стовпців. Рангом системи рядків (стовпців) матриці А називається максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців). Кілька рядків (стовпців) називаються лінійно-незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців і це число називається рангом матриці.
Ранг матриці - найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля. Ранг матриці дорівнює найбільшому числу лінійно незалежних рядків (або стовпців) матриці.
Зазвичай ранг матриці A позначається rang A (rg A) або rank A. Обидва позначення прийшли до нас з іноземних мов, тому й вживатися можуть обидва. Останній варіант властивий для англійської мови, в той час як перший - для німецької, французької та ряду інших мов.
Обчислення рангу матриці
Ранг матриці перебуває або методом облямівки миноров, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від мінорів нижчих порядків до минорам високого порядку. Якщо вже знайдений мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k + 1) -го порядку, оздоблюють мінор D, тобто містять його як мінору. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k.
Властивості
Теорема (про базисному мінорі): Нехай r = rang AM - базисний мінор матриці A, тоді:
- базисні рядки і базисні стовпці лінійно незалежні;
- будь-який рядок (стовпець) матриці A є лінійна комбінація базисних рядків (стовпців).
Наслідки:
- Якщо ранг матриці дорівнює r, то будь-які p: p> r рядків або стовпців цієї матриці будуть лінійно залежні.
- Якщо A - квадратна матриця, і det A = 0 <=> рядки і стовпці цієї матриці лінійно залежні.
- Нехай r = rang A, тоді максимальна кількість лінійно незалежних рядків (стовпців) цієї матриці одно r.
- Теорема (про інваріантності рангу при елементарних перетвореннях): Введемо позначення
елементарними перетвореннями. Тоді справедливе твердження: Якщо , то їх ранги рівні для матриць, отриманих одне з одного
Теорема Кронекера - Капеллі: Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці. Зокрема:
- Кількість головних змінних системи одно рангу системи.
- Спільна система буде визначена (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.
Джерела:
Корисні посилання:
- Ранг матриці
- Приклад знаходження рангу матриці
- Онлайн обчислення рангу матриці