Діагональ в багатокутнику (многограннике) - відрізок, що з'єднує будь-які дві несуміжні вершини, тобто, вершини, не належать одній стороні багатокутника (одному ребру багатогранника).
У багатогранників розрізняють діагоналі граней (розглянутих як плоскі багатокутники) і просторові діагоналі, що виходять за межі граней. У багатогранників, що мають трикутні грані є тільки просторові діагоналі.
Підрахунок діагоналей
Діагоналей немає у трикутника на площині і у тетраедра в просторі, оскільки всі вершини цих фігур попарно пов'язані сторонами (ребрами).
Кількість діагоналей N у багатокутника легко обчислити за формулою:
N = nmiddot- (n - 3) / 2,
де n - число вершин багатокутника. За цією формулою неважко знайти, що
- у трикутника - 0 діагоналей
- у прямокутника - 2 діагоналі
- у п'ятикутника - 5 діагоналей
- у шестикутника - 9 діагоналей
- у восьмикутника - 20 діагоналей
- у 12-кутника - 54 діагоналі
- у 24-кутника - 252 діагоналі
Кількість діагоналей багатогранника з числом вершин n легко підрахувати тільки для випадку, коли в кожній вершині многогранника сходиться однакове число ребер k. Тоді можна користуватися формулою:
N = nmiddot-(N - k - 1) / 2,
яка даємо Сумманен число просторових і граневих діагоналей. Звідси можна знайти, що
- у тетраедра (n = 4, k = 3) - 0 діагоналей
- у октаедра (n = 6, k = 4) - 3 діагоналі (всі просторові)
- у куба (n = 8, k = 3) - 16 діагоналей (12 граневих і 4 просторових)
- у ікосаедра (n = 12, k = 5) - 36 діагоналей (всі просторові)
- у додекаедра (n = 20, k = 3) - 160 діагоналей (25 граневих і 135 просторових)
Якщо в різних вершинах багатогранника сходиться різне число ребер, підрахунок помітно ускладнюється і повинен проводиться індивідуально для кожного випадку.
Фігури з рівними діагоналями
На площині існує два правильних багатокутника, у яких всі діагоналі рівні між собою. Це квадрат і правильний п'ятикутник. У квадрата дві однакових діагоналі, що перетинаються в центрі під прямим кутом. У правильного п'ятикутника п'ять однакових діагоналей, які разом утворюють малюнок п'ятикутної зірки (пентаграми).
Єдиний правильний багатогранник, у якого всі діагоналі рівні між собою - правильний восьмигранник октаедр. У нього три діагоналі, які попарно перпендикулярно перетинаються в центрі. Всі діагоналі октаедра - просторові (діагоналей граней у октаедра немає, тому що у нього трикутні грані).
Крім октаедра є ще один правильний багатогранник, у якого всі просторові діагоналі рівні між собою. Це куб (гексаедр). У куба чотири однакових просторових діагоналі, які також перетинаються в центрі. Кут між дигональ куба состаляет або arccos (1/3) asymp- 70,5 ° (для пари діагоналей, проведених до суміжних вершин), або arccos (-1/3) asymp- 109,5 ° (для пари діагоналей, проведених до несуміжних вершин).
Посилання:
- - Вікіпедія: Діагональ
- - ілюстрація різниці між граневой і просторової діагоналями багатогранника
Додатково в базі даних Генона: