Як знайти об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах?

Колінеарні вектори

Колінеарними називаються вектори, лежать на паралельних прямих (або на одній і тій же прямій).

Колінеарні вектори можуть мати одне і те ж напрям (равнонаправленних вектори) або протилежні напрямки.

Два ненульових вектора рівні, якщо вони равнонаправлени і мають один і той же модуль. Всі нульові вектори вважаються рівними.

Умова коллінеарності векторів

Якщо вектори a(X₁,y₁,z₁) І b(X₂,y₂,z₂) Колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні:

x₂/ X₁ = Y₂/ Y₁ = Z₂/ Z₁

І назад: якщо відповідні координати векторів пропорційні, то вектори ці - колінеарні.

Якщо коефіцієнт пропорційності lambda- = x₂/ X₁ = Y₂/ Y₁ = Z₂/ Z₁ позитивний, то вектори a і b равнонаправлени, а якщо від'ємний - то протилежно спрямовані.

Наприклад:

• вектори АВ(3, 5, 8) і CD(6, 10, 16) колінеарні;
• вектори АВ(-12, -8, -22) І CD(6, 4, 11) колінеарні;
• вектори АВ(-10, -8, -21) І CD(6, 5, 11) НЕ колінеарні

Компланарні вектори

Три вектора (або більше їх число) називаються компланарними, якщо вони, будучи приведені до загального початку, лежать в одній площині.

Якщо хоча б один з трьох векторів - нульовий, то три вектора також вважаються компланарними.

Компланарність векторів, доказ їх компланарності

Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів a, b, c є рівність нулю їх змішаного твори.

Наприклад:

• вектори AB(2, 1, 3), CD(-2, 8, 12), EF(3, 15, 27) компланарні;
• вектори AB(-4, 2, -6), CD(-1, -4, 6), EF(-2, 10, -18) компланарні.

Змішане твір векторів

Змішаним (або векторно-скалярним) твором трьох векторів a, b, c називається скалярний добуток вектора а на векторний добуток b-c, тобто число а(b-c), Або, що те ж, (b-c)а.

Для того, щоб знайти змішане твір трьох векторів a, b і c, заданих своїми координатами a(A_x,a_y,a_z), b(B_x,b_y,b_z), c(C_x,c_y,c_z), Потрібно певним чином скласти визначник третього порядку. У першому рядку визначника записуємо координати першого вектора, у другому рядку - другого, у третій - третього:

a_x a_y a_z

b_x b_y b_z

c_x c_y c_z

і обчислюємо визначник. Результат обчислень і є шукане змішане твір трьох векторів.

Наприклад, змішане твір векторів a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9) дорівнює 90.

Змішане твір abc трьох некомпланарних векторів a, b, c дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c, взятому зі знаком «плюс», якщо система a, b, c - права, і зі знаком «мінус», якщо ця система ліва.

Іноді питання задають так: «Чому дорівнює об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b і c?». Як вже відомо, дорівнює він змішаного добутку векторів a, b і c. Якщо результат виявиться зі знаком «мінус», то результат, звичайно ж, потрібно взяти по модулю.

Наприклад, обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9), дорівнює 90 кубічних одиниць.

Обсяг піраміди, побудованої на векторах

Обсяг піраміди, побудованої на векторах a, b і c, дорівнює 1/6 об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b і c.

Якщо відомі координати вершин A, B, C, D піраміди, то послідовність дій для знаходження її обсягу наступна:

• знаходимо координати векторів AB, AC і AD;
• знаходимо 1/6 змішаного добутку векторів AB, AC і AD (Результат обчислень беремо зі знаком «плюс»).

Наприклад, дані вершини піраміди ABCD:

• A(5, 0, 14);
• B(-7, 16, 9);
• C(14, -5, 17);
• D(15, 11, -2).

Знаходимо координати векторів AB, AC і AD:

• AB = (-7-5, 16-0, 9-14) = (-12, 16, -5);
• AC = (14-5, -5-0, 17-14) = (9, -5, 3);
• AD = (15-5, 11-0, -2-14) = (10, 11, -16).

Обчислюємо 1/6 змішаного добутку векторів AB, AC і AD.

V = 1/6 middot- 1475 = 245,83 кубічних одиниць.

Джерела:

• М.Я. Вигодський. Довідник з вищої математики.
• В.Д. Черненко. Вища математика в прикладах і задачах. У 3 томах. Том 1.

Додатково:

• Що таке визначник матриці?
• Як знайти визначник матриці?
• Якими властивостями володіє визначник матриці?