Як обчислити певний інтеграл?

Обчислення визначених інтегралів. Розрахунок визначеного інтеграла шляхом обчислення первісної.

Функції є безперервними. Але якщо функція f(x) Сама є безперервною, тоді ці функції є диференційовними, причому їх похідні дорівнюють f(x) І "- f(x) ", Відповідно.

Таким чином, з одного боку, у всякої безперервної функції є первообразная, і щоб знайти її досить обчислити визначений інтеграл від цієї функції із змінною верхньою межею. А з іншого боку, щоб обчислити визначений інтеграл, досить знати первісну функцііб яку ми хочемо проинтегрировать.

Т. (Формула Ньютона-Лейбніца.) Якщо функція f(x) Неперервна на відрізку [ a, b ], а H(x) - яка-небудь її первообразная, тоді :

Оскільки , то F(x) - Первообразная функції f, а оскільки дві первісні відрізняються лише на константу, то F(x) = H(x) + C,
і далі, оскільки , то С = - H(a).
Отже, F(b) = H(b) - H(a) .

Оскільки f є похідною H, то формулу Ньютона-Лейбніца можна переписати у вигляді:

тобто інтеграл від похідною дорівнює різниці значень функції в кінцях відрізка інтегрування.

Формулу Ньютона-Лейбніца можна застосовувати до кусочно безперервним функцій, що володіє кусочной первісної. Так можна зробити з тієї причини, що визначений інтеграл має властивість адитивності.

Залишається лише відзначити, що:

Основне призначення формули Ньютона-Лейбніца - обчислення визначеного інтеграла через невизначений. Тобто щоб обчислити визначений інтеграл функції на відрізку [ a, b ], Спочатку обчислюють невизначений інтеграл, а потім беруть яку-небудь первообразную і підставляють в неї значення b і a.

Джерело інформації:

• symedu.spb.ru - Підручник з математики.

Додаткова інформація:

• genomukr.ru - Що таке певний і невизначений інтеграли?