25900 авторів і 91 редактор відповіли на 98952 питання,
розмістивши 129771 посилання на 81900 сайтів, приєднуйтесь!

Реклама партнерів:

Як знайти тангенс?

РедагуватиУ обранеДрук

Тригонометрія - це розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції, їх властивості, взаємозв'язки і застосування.

Слово «тригонометрія» утворено від грецьких слів «trigonom» (трикутник) і «metreo» (вимірювати).

Виникнення і розвиток тригонометрії пов'язані з практичними потребами у вимірі та обчисленні спочатку елементів трикутників на місцевості, а пізніше - в будівництві, мореплавання та астрономії. Сучасна тригонометрія широко застосовується в різних областях математики, зокрема в геометрії, інших науках, в техніці. Наприклад, тригонометричні функції використовуються при вирішенні завдань оптики, завдань кінематичного аналізу та синтезу механізмів, гармонійного аналізу та інших.

Cінус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника

Немає понять «просто синус» або «просто косинус», не мають сенсу записи типу «sin» і «cos» самі по собі, вони самі по собі ніякої величини не позначав (точно так само, як і, наприклад, значок квадратного кореня сам по собі). Ті, хто цього не розуміє, часто робить грубу помилку типу: sin x / cos x = in / co

Є поняття синуса, косинуса, тангенса, котангенса як тригонометричних функцій кута. Тут кут - аргумент функції. Він може позначатися «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фе», «дельта» або ще який-небудь буквою. Суть від цього не змінюється.

Для того, щоб більш наочно уявити наведені нижче визначення, накресліть прямокутний трикутник. Це трикутник, один з кутів якого - прямий (тобто один з кутів дорівнює 90 градусів). Сторони, прилеглі до прямого кута (перпендикулярні один одному сторони) - це катети даного прямокутного трикутника. Протилежна прямому розі сторона - це гіпотенуза.

Тепер виберіть будь-який з двох інших (гострих) кутів трикутника і позначте його, наприклад, альфа. Один з катетів буде примикати до вершини цього кута (і, власне, утворювати цей кут разом з гіпотенузою). Це - прилежащий катет. Інший катет що не примикають до вершини цього кута, він перебуває ніби навпроти даної вершини. Це - протилежний катет.

До речі, чомусь не всі уявляють, що таке кут трикутника при даній вершині. У трикутника (позначимо його ABC) є три вершини: А, В і С. Коли говорять про вугілля А трикутника, то мають на увазі кут, утворений сторонами ВА і АС. Це і є кут при вершині А.

Отже,

Синусом гострого кута називається відношення протилежного цьому кутку катета до гіпотенузи.

Косинусом гострого кута називається відношення прилеглого до цього кута катета до гіпотенузи.

Тангенсом гострого кута називається відношення протилежного цьому кутку катета до прилеглого катета.

Котангенсом гострого кута називається відношення прилеглого цього кутку катета до протилежного катета.

Секанс гострого кута називається відношення гіпотенузи до прилеглого до цього кута катета. Позначається: sec x.

Косеканс гострого кута називається відношення гіпотенузи до протилежного цьому кутку катета. Позначається: cosec x.

Як знайти кути в прямокутному трикутнику, якщо відомі сторони?

Дан трикутник АВС, кут С - прямий.

Сторони АВ, АС і ВС відомі.

Тому кут С - прямий, він дорівнює 90 градусам.

Інші кути можна знайти, наприклад, так:

якщо відомий катет і гіпотенуза

sinA = BC / AB,

sinB = AC / AB,

якщо відомі два катета

tg A = BC / AC

tg B = AC / BC

Припустимо, отримали, що sin A = frac12-. По таблиці дивимося, що такому значенню sin x відповідає величина кута 30 градусів.

Або, приміром, отримали, що tg B = 1. Значить, кут В дорівнює 45 градусів.

Або, приміром, ми отримали, що sin B = 0,259. По таблиці Брадіса або за допомогою калькулятора знаходимо, що кут В дорівнює 15 градусів.

sin 15 ° = 0,259

arcsin0,259 = 15 °

Як знайти кути в прямокутному трикутнику, якщо відомий один кут?

Оскільки трикутник прямокутний, то один з його кутів дорівнює 90 градусів. Величина другого кута відома (за умовою завдання, позначимо її альфа). У сумі кути трикутника складають 180 градусів. Значить, третій кут дорівнює 180-90-альфа.

Еедінічная окружність (одиничний коло)

Одиничний коло - це коло з центром на початку координат і радіусом, рівним одиниці (R = 1).

Одиничне коло - це окружність одиничного кола (тобто коло з центром на початку координат і з радіусом, рівним одиниці).

Одиничний радіус-вектор - це вектор, початок якого збігається з початком координат, а його довжина дорівнює одиниці.

Кути відраховують від початкового положення рухомого радіуса-вектора (збігається з положенням Ох).

Координатні чверті відраховуються так:

y

|

|

(II чверть) | (I чверть)

|

________________________ X

| 0

|

(III чверть) | (IV чверть)

|

|

Кут першої чверті - від 0 до 90 градусів (від 0 до пі / 2).

Кут другій чверті - від 90 до 180 градусів (від пі / 2 до пі).

Кут третій чверті - від 180 до 270 градусів (від пі до 2Пі / 3).

Кут четвертої чверті - від 270 до 360 градусів (від 2Пі / 3 до 2Пі).

Наприклад:

  • кути першій чверті: 30 градусів, 85 градусів, пі / 4;
  • кути другій чверті: 120 градусів, 178 градусів;
  • кути третьої чверті: 205 градусів, 260 градусів;
  • кути четвертої чверті: 272 градуси, 305 градусів.

Тригонометричні функції

До тригонометричним функцій відносяться функції:

y = sin x;

y = cos x;

y = tg x;

y = ctg x;

y = sec x;

y = cosec x.

Синусом кута, утвореного віссю Ох і довільним радіусом-вектором ОА, називається відношення проекції цього вектора на вісь Оу до його довжини.

Косинусом кута, утвореного віссю Ох і довільним радіусом-вектором ОА, називається відношення проекції цього вектора на вісь Ох до його довжини.

Тангенсом кута, утвореного віссю Ох і довільним радіусом-вектором ОА, називається відношення проекції цього вектора на вісь Оу до його проекції на вісь Ох.

Котангенсом кута, утвореного віссю Ох і довільним радіусом-вектором ОА, називається відношення проекції цього вектора на вісь Ох до його проекції на вісь Оу.

Секанс кута, утвореного віссю Ох і довільним радіусом-вектором ОА, називається відношення довжини цього вектора до його проекції на вісь Ох.

Косеканс кута, утвореного віссю Ох і довільним радіусом-вектором ОА, називається відношення довжини цього вектора до його проекції на вісь Оу.

Тригонометричні функції пов'язані між собою, і цим можна скористатися для знаходження синуса кута за його косинусу або котангенс або косинуса кута за його синусу або тангенсу.

Як знайти синус кута, якщо відомий косинус?

Потрібно скористатися основним тригонометричним тотожністю:

sin2a + cos2a = 1

sin2a = 1 - cos2a

| Sin a | = КОРІНЬ (1 - cos2a)

sin a = ± КОРІНЬ (1 - cos2a)

знак перед коренем потрібно вибрати відповідно з чвертю даного кута (синус позитивний в I і II чвертях, косинус позитивний в I і IV чвертях)

Як знайти косинус кута, якщо відомий синус?

Потрібно скористатися основним тригонометричним тотожністю:

sin2a + cos2a = 1

cos2a = 1 - sin2a

| Cos a | = КОРІНЬ (1 - sin2a)

cos a = ± КОРІНЬ (1 - sin2a)

знак перед коренем потрібно вибрати відповідно з чвертю даного кута (синус позитивний в I і II чвертях, косинус позитивний в I і IV чвертях)

Як знайти синус кута, якщо відомий котангенс?

Потрібно скористатися тригонометричним тотожністю

1 + ctg2 a = 1 / sin2 a

sin2 a = 1 / (1 + ctg2 a)

| Sin a | = 1 / КОРІНЬ (1 + ctg2 a)

sin a = ± 1 / КОРІНЬ (1 + ctg2 a)

знак перед коренем потрібно вибрати відповідно з чвертю даного кута (синус позитивний в I і II чвертях, котангенс позитивний в I і III чвертях)

Як знайти косинус кута, якщо відомий тангенс?

Потрібно скористатися тригонометричним тотожністю

1 + tg2 a = 1 / cos2 a

cos2 a = 1 / (1 + tg2 a)

| Cos a | = 1 / КОРІНЬ (1 + tg2 a)

cos a = ± 1 / КОРІНЬ (1 + tg2 a)

знак перед коренем потрібно вибрати відповідно з чвертю даного кута (косинус позитивний в I і IV чвертях, тангенс позитивний в I і III чвертях)

Тригонометричну тотожність

Тригонометричним тотожністю називається рівність, в яке входять тригонометричні функції і яке задовольняється довільним допустимим значенням кута - аргументу тригонометричних функцій, але не задовольняється, якщо кожну окремо тригонометричну функцію замінити довільною величиною.

Основні тригонометричні тотожності:

sin2a + cos2a = 1

tg a = sin a / cos a

ctg a = cos a / sin a

sec a = 1 / cos a

cosec a = 1 / sin a

Arcsin, arcos, arctg, arcctg (Обернені тригонометричні функції)

  • arcsin - читається: арксинус;
  • arcos - читається: Арккосинус;
  • arctg - читається: арктангенс;
  • arcctg - читається: арккотангенс.

arcsin, arcos, arctg, arcctg - це обернені тригонометричні функції.

Зворотною тригонометричної функцією y = arcsin x називають кут у, взятий на відрізку від Пі / 2 до + пі / 2, синус якого дорівнює х:

y = arcsin x sin y = x

Зворотною тригонометричної функцією y = arccos x називають кут у, взятий на відрізку від Пі до + пі, косинус якого дорівнює х:

y = arccos x cos y = x

Зворотною тригонометричної функцією y = arctg x називають кут у, взятий на проміжку від Пі / 2 до + пі / 2 (виключаючи кінці), тангенс якого дорівнює х:

y = arctg x tg y = x

Зворотною тригонометричної функцією y = arcctg x називають кут у, взятий на проміжку від 0 до пі (виключаючи кінці), котангенс якого дорівнює х:

y = arctg x tg y = x

Наприклад,

sin 30 ° = 0,5

arcsin0,5 = 30 °

Синусоїда і косинусоид

Графік функції y = sin x називається синусоїдою.

Графік функції y = cos x називається косинусоид.

Реклама партнерів:

РедагуватиУ обранеДрук


Увага, тільки СЬОГОДНІ!
«Як знайти тангенс?»

В інших пошукових системах:

GoogleЯndexRamblerВікіпедія

» » Як знайти тангенс?