Правильне написання: браузер. Саме цей варіант зафіксований в «Русском орфографічному словнику РАН».
Англійське слово browser читається [браузер], і саме ця транскрипція зафіксована в словниках як норма. Говорити і писати «броузер» - неправильно.
Вельми цікава історія цього слова. В англійській мові дієслово to browse спочатку означав «об'їдати молоді пагони» і відбувся від старофранцузского brost - «Паросток, пагін». З кінця XIX століття в американському англійському у цього дієслова з'явилося нове значення: «побіжно переглядати». У російській мові до нього ближче всього ідіома «нахапатися по верхах». Словом browser, відповідно, іменували тих читачів, які переглядали книгу, що називається, по діагоналі.
З часом слово browse придбало загальний зміст «оглядати, переглядати». А з появою комп'ютерів і веб-ресурсів з'явилися і комп'ютерні програми перегляду (оглядачі) - браузери.
Джерела:
Додатково: