- Квадрат суми двох величин дорівнює квадрату першого плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другого:
(A + b)2 = A2 + 2ab + b2. - Квадрат різниці двох величин дорівнює квадрату першого мінус подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другий:
(A - b)2 = A2 - 2ab + b2. - Різниця квадратів двох величин дорівнює добутку їх суми на різницю:
a2 - b2 = (A + b) (a - b). - Куб суми двох величин дорівнює кубу першого плюс утроенное твір квадрата першої на другу плюс утроенное твір першою на квадрат другий плюс куб другий:
(A + b)3 = A3 + 3a2b + 3ab2 + b3. - Куб різниці двох величин дорівнює кубу першого мінус утроенное твір квадрата першої на другу плюс утроенное твір першою на квадрат другий мінус куб другий:
(A - b)3 = A3 - 3a2b + 3ab2 - b3. - Сума кубів двох величин дорівнює добутку їх суми на неповний квадрат їх різниці:
(A + b) (a2 - ab + b2) = A3 + b3. - Різниця кубів двох величин дорівнює добутку їх різниці на неповний квадрат їх суми:
(A - b) (a2 + ab + b2) = A3 - b3. - Квадрат суми трьох чіслел дорівнює сумі їх квадратів плюс подвоєна сума попарних творів:
(A + b + c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Всі формули скороченого множення доводяться безпосереднім розкриттям дужок і приведенням подібних доданків.
Приклад 1. Доведіть формулу a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2).
Рішення. Розкриваючи дужки і приводячи подібні доданки, одержуємо:
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + ba2 - ab2 - b3 = a3 + b3,
що й доводить потрібну формулу.
Дуже часто приведення многочлена до стандартного вигляду можна здійснити за допомогою формул скороченого множення. Щоб швидко знаходити необхідні перетворення, формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.
Приклад 2. Спростіть вираз (2x3 - 5z) (2x3 + 5z).
Рішення. Користуючись формулою різниці квадратів, отримуємо:
(2x3 - 5z) (2x3 + 5z) = (2x3)2 - (5z)2 = 4x6 - 25z2.
Джерела:
- - формули скороченого множення
- - формули скороченого множення та інші корисні алгебраїчні тотожності (А.Н. Колпаков)
- - формули скороченого множення
- - формули скороченого множення
Додатково: