Як усно наближено визначити десятковий логарифм числа?

Десятковий логарифм позитивного числа - це ступінь, в якій потрібно звести число 10, щоб отримати вихідне число:

y = lg x = log₁₀x => x = 10^y.

1. У першому наближенні логарифм числа дорівнює його порядку, тобто, ступеня десятки в науковій (експоненційної) записи числа. Будь-яке позитивне число x можна представити у формі x = mmiddot-10ⁿ, де m - мантиса, дійсне число в діапазоні 1 le- m < 10, а ціле число n називають порядком.

Наприклад, в числі Авогадро N_A = 6,02middot-10²³ мантиса - 6,02, а порядок - 23. Тому в першому наближенні логарифм числа Авогадро дорівнює 23.

Цей спосіб заснований на двох фактах:

• логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів: log amiddot-b = log a + log b;
• логарифм числа від 1 до 10 не перевищує 1.

У застосуванні до наукової запису числа отримуємо:

lg x = lg (mmiddot-10ⁿ) = Lg m + lg (10ⁿ) = P + n asymp- n, оскільки 0 le- p < 1.

Нехтуючи логарифмом мантиси, числом від 0 до 1, ми помилимося у визначенні десяткового логарифма не більше, ніж на 1, причому завжди в меншу сторону.

2. Підвищити точність можна, врахувавши, що lg 3 asymp- 0,5. Так що якщо мантиса, якою ми знехтували в попередньому прикладі, більше 3, то треба додати одиницю до наближеної оцінки логарифма. Таким чином, більш точна оцінка логарифма числа Авогадро: lg N_A asymp- n + 1 = 24.

3. Ще точніше можна визначити логарифм, якщо пам'ятати нескладну таблицю "круглих" логарифмів цілих чисел і застосовувати її для оцінки логарифма мантиси:

• lg 1 = 0
• lg 2 asymp- 0,3

• lg 3 asymp- lg (radic-10) = 0,5

• lg 4 asymp- 0,6

• lg 5 asymp- 0,7

• lg 8 asymp- 0,9

Причому у всіх випадках, кормі третього похибка не перевищує піввідсотка. Звідси видно, що логарифм мантиси числа Авогадро трохи менше, ніж 0,8, а значить, логарифм N_A можна оцінити як 23,8. Для порівняння точне значення: lg N_A = 23,778.

Додатково:

• Що таке десятковий логарифм?