Периметр трикутника - це сума довжин всіх його сторін. Якщо все довжини всіх сторін прямокутного трикутника відомі, то його периметр P обчислюється за формулою:
P = a + b + с.
Таким чином, завдання знаходження периметра зводиться визначенню довжини всіх сторін трикутника. Це завдання вирішується по-різному, залежно від того, які параметри прямокутного трикутника відомі.
По двох сторонах
Якщо відомі дві з трьох строн прямокутного трикутника, то третю сторону можна обчислити за допомогою теореми Піфагора. Якщо відомі довжини катетів (сторін, прилеглі до прямого кута), то довжина третьої сторони (гіпотенузи) обчислюється за формулою:
c = radic- (a2 + b2),
де a і b - катети, а c - гіпотенуза. Якщо ж відома довжина гіпотенузи і одного з катетів, то другий катет можна знайти за формулою:
a = radic- (c2 - b2).
Тепер периметр P прямокутного трикутника обчислюється за формулами:
P = a + b + radic- (a2 + b2) = radic- (c2 - b2) + B + с.
За гіпотенузі і куту
Якщо відома гіпотенуза c і один з гострих кутів alpha-, обчислити два катета можна за формулами:
a = с sin alpha-,
b = с cos alpha-.
Підставивши ці вирази у формулу для периметра, отримуємо:
P = a + b + с = з sin alpha- + з cos alpha- + с = с (sin alpha- + cos alpha- + 1).
За катету і протилежного кутку
Якщо заданий катет a і противолежащий йому гострий кут alpha-, то спочатку треба обчислити інший катет b і гіпотенузу з за формулами:
b = a / tg alpha-,
c = a / sin alpha-.
Потім перімер P обчислюється за формулою:
P = a + b + с = a + a / tg alpha- + a / sin alpha- = a (1 + 1 / tg alpha- + 1 / sin alpha-).
За катету і прилеглому куту
Якщо відомий катет a і прилегла в нього гострий кут beta-, то треба врахувати, що в прямогульном трикутнику сума гострих кутів становить 90 °:
alpha- + beta- = 90 ° => alpha- = 90 ° - beta-,
і скористатися тригонометричними формулами приведення
sin alpha- = sin (90 ° - beta-) = cos beta-,
tg alpha- = tg (90 ° - beta-) = ctg beta- = 1 / tg beta-.
Підставивши ці вирази в попередню формулу для периметра, отримуємо:
P = a (1 + 1 / сtg beta- + 1 / cos beta-) = A (1 + tg beta- + 1 / cos beta-).
Додатково в базі даних Генона:
- Що таке периметр і напівпериметр?
- Що таке теорема Піфагора?
- Що таке катет? Що таке гіпотенуза? Як пов'язані довжини катетів і гіпотенузи?
- Як обчислити площу прямокутного трикутника?