У евклідової геометрії сума кутів плоского n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Зокрема:
- сума кутів трикутника - 180 °;
- сума кутів чотирикутника - 360 °;
- сума кутів п'ятикутника - 540 °;
- сума кутів шестикутника - 720 °;
- сума кутів семикутника - 900 °;
- сума кутів восьмикутника - 1080 °.
Доказ даної теореми для випадку опуклого n-кутника
В разі n = 3 ми маємо справу з трикутником. Сума кутів трикутника завжди дорівнює 180 °. В разі n> 3 потрібно провести з будь-якої вершини багатокутника діагоналі до все несуміжних вершин. Таких діагоналей буде n-3, і вони розіб'ю багатокутник на n-2 прилеглих один до одного трикутників. Сума кутів багатокутника збігається з сумою кутів всіх цих трикутників. Сума кутів у кожному трикутнику дорівнює 180 °, а число цих трикутників є n-2. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Теорема доведена.
Для неопуклого n-кутника сума кутів також дорівнює 180 ° (n-2). Доказ аналогічно, але використовує на додаток лемму про те, що будь багатокутник може бути розрізаний діагоналями на трикутники.
Джерела:
- - Вікіпедія: Теорема про суму кутів багатокутника (з доказом)
- - Вікіпедія: Теорема про суму кутів трикутника (з доказом)
- - Теорема про суму кутів опуклого багатокутника
Додатково: