Що таке екстремум функції і яке необхідна умова екстремуму?
Екстремумів функції називається максимум і мінімум функції.
Необхідна умова максимуму і мінімуму (екстремуму) функції наступне: якщо функція f(x) Має екстремум в точці х = а, то в цій точці похідна або дорівнює нулю, або нескінченна, або не існує.
Це умова необхідна, але не достатня. Похідна в точці х = а може звертатися в нуль, в нескінченність або не існували без того, щоб функція мала екстремум в цій точці.
Яке достатня умова екстремуму функції (максимуму або мінімуму)?
Перша умова:
Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f?(x) Позитивна зліва від а й негативна праворуч від а, то в самій точці х = а функція f(x) Має максимум за умови, що функція f(x) Тут безперервна.
Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f?(x) Негативна зліва від а й позитивна праворуч від а, то в самій точці х = а функція f(x) Має мінімум за умови, що функція f(x) Тут безперервна.
Замість цього можна скористатися другим достатньою умовою екстремуму функції:
Нехай в точці х = а перша похідна f?(x) Звертається до нуль- якщо при цьому друга похідна f ??(А) негативна, то функція f(x) Має в точці x = a максимум, якщо позитивна - то мінімум.
Про випадок f ??(А) = 0 можна прочитати в Довіднику з вищої математики М.Я. Вигодський.
Що таке критична точка функції і як її знайти?
Це значення аргументу функції, при якому функція має екстремум (тобто максимум або мінімум). Щоб його знайти, потрібно знайти похідну функції f?(x) І, прирівнявши її до нуля, вирішити рівняння f?(x) = 0. Корені цього рівняння, а також ті точки, в яких не існує похідна даної функції, є критичними точками, т. Е. Значеннями аргументу, при яких може бути екстремум. Їх можна легко визначити, поглянувши на графік похідною: Нас цікавлять ті значення аргументу, при яких графік функції перетинає вісь абсцис (вісь Ох) і ті, при яких графік терпить розриви.
Для прикладу знайдемо екстремум параболи.
Функція y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Похідна функції: y?(x) = 6x + 2
Вирішуємо рівняння: y?(x) = 0
6х + 2 = 0, 6х = -2, х = -2 / 6 = -1/3
В даному випадку критична точка - це х0= -1 / 3. Саме при цьому значенні аргументу функція має екстремум. Щоб його знайти, підставляємо у вираз для функції замість «х» Найдьонов число:
y0 = 3 * (- 1/3)2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Як визначити максимум і мінімум функції, тобто її найбільше і найменше значення?
Якщо знак похідної при переході через критичну точку х0 змінюється з «плюса» на «мінус», то х0 є точка максимуму- якщо ж знак похідної змінюється з мінуса на плюс, то х0 є точка мінімуму- якщо знак не змінюється, то в точці х0 ні максимуму, ні мінімуму немає.
Для розглянутого прикладу:
Беремо довільне значення аргументу зліва від критичної точки: х = -1
При х = -1 значення похідної буде у?(-1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (тобто знак - «мінус»).
Тепер беремо довільне значення аргументу праворуч від критичної точки: х = 1
При х = 1 значення похідної буде у (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (тобто знак - «плюс»).
Як бачимо, похідна при переході через критичну точку поміняла знак з мінуса на плюс. Значить, при критичному значенні х0 ми маємо точку мінімуму.
Найбільше і найменше значення функції на інтервалі (На відрізку) знаходять за такою ж процедурою, тільки з урахуванням того, що, можливо, не всі критичні точки лежатимуть всередині зазначеного інтервалу. Ті критичні точки, які знаходяться за межею інтервалу, потрібно виключити з розгляду. Якщо всередині інтервалу знаходиться тільки одна критична точка - в ній буде або максимум, або мінімум. У цьому випадку для визначення найбільшого і найменшого значень функції враховуємо також значення функції на кінцях інтервалу.
Наприклад, знайдемо найбільше і найменше значення функції
y(x) = 3sin(x) - 0,5х
на інтервалах:
а) [-9- 9]
б) [-6 -3]
Отже, похідна функції ;
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Вирішуємо рівняння 3cos(x) - 0,5 = 0
3cos (x) = 0,5
cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667
х = ± arccos (0,16667) + 2pi-k.
Знаходимо критичні точки на інтервалі [-9- 9]:
х = arccos(0,16667) - 2pi;* 2 = -11,163 (не входить в інтервал)
х =;arccos(0,16667) - 2pi;* 1 = -7,687
х = arccos(0,16667) - 2pi;* 1 = -4,88
х =;arccos(0,16667) + 2pi;* 0 = -1,403
х = arccos(0,16667) + 2pi;* 0 = 1,403
х =;arccos(0,16667) + 2pi;* 1 = 4,88
х = arccos(0,16667) + 2pi;* 1 = 7,687
х =;arccos(0,16667) + 2pi;* 2 = 11,163 (не входить в інтервал)
Знаходимо значення функції при критичних значеннях аргументу:
y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398
y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256
y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885
Видно, що на інтервалі [-9- 9] найбільше значення функція має при x = -4,88:
x = -4,88, у = 5,398,
а найменше - при х = 4,88:
x = 4,88, у = -5,398.
На інтервалі [-6- -3] ми маємо тільки одну критичну точку: х = -4,88. Значення функції при х = -4,88 одно у = 5,398.
Знаходимо значення функції на кінцях інтервалу:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
На інтервалі [-6- -3] маємо найбільше значення функції
у = 5,398 при x = -4,88
найменше значення ;
у = 1,077 при x = -3
Як знайти точки перегину графіка функції і визначити сторони опуклості і угнутості?
Щоб знайти всі точки перегину лінії y = f(x), Треба знайти другу похідну, прирівняти її до нуля (вирішити рівняння) і випробувати всі ті значення х, для яких друга похідна дорівнює нулю, нескінченна або не існує. Якщо при переході через одне з цих значень друга похідна змінює знак, то графік функції має в цій точці перегин. Якщо ж не змінює, то перегину немає.
Коріння рівняння f ? (x) = 0, а також можливі точки розриву функції та другої похідної розбивають область визначення функції на ряд інтервалів. Опуклість на кожному їх інтервалів визначається знаком другої похідної. Якщо друга похідна в точці на досліджуваному інтервалі позитивна, то лінія y = f(x) Звернена тут увігнутістю догори, а якщо негативна - то донизу.
Як знайти екстремуми функції двох змінних?
Щоб знайти екстремуми функції f(x,y), Диференційованою в області її завдання, потрібно:
1) знайти критичні точки, а для цього - вирішити систему рівнянь
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) для кожної критичної точки Р0(a;b) Дослідити, чи залишається незмінним знак різниці
f(x,y) ;f(a,b)
для всіх точок (х-у), досить близьких до Р0. Якщо різниця зберігає позитивний знак, то в точці Р0 маємо мінімум, якщо негативний - то максимум. Якщо різниця не зберігаються знака, то в точці Р0 екстремуму немає.
Аналогічно визначають екстремуми функції при більшому числі аргументів.
Джерела:
- Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики
- Черненко В.Д. Вища математика в прикладах і задачах. У 3-х томах. Том 1.